2.5.3. Решение задачи Коши для уравнения колебания бесконечной
струны методом характеристик. Формула Даламбера
Решение задачи Коши методом Даламбера состоит в определении
решения уравнения
22
2
22
,,u x t u x t
a
tx
,
,xR
0t
(2.32)
при начальных условиях
0
,
t
ux
0
,
t
u
x
t
.xR
(2.33)
Осуществим это в несколько этапов.
I этап. Уравнение (2.32) – это уравнение гиперболического типа, оно
имеет две действительные характеристики. Решая уравнение
характеристик
22
2
0dx a dt
для (2.32), получаем характеристики
вида
1
,x at C
2
,x at C
12
,.C C R
Преобразование координат
,x at
x at
приводит уравнение (2.32) к виду
0u
или
2
0,
u
откуда
0
u
или
,
u
w
где
w
– произвольная функция аргумента
.
Рассматривая
как параметр и интегрируя полученное уравнение по
,
имеем:
.u w d h g h
Возвращаясь к исходным
переменным, получаем общее решение уравнения (2.32) в виде
,,u x t g x at h x at
(2.34)
где
g
и
h
– произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
5А4 (Замечание). Решение (2.34) называют решением Даламбера, а
метод получения этого решения методом Даламбера (или методом
характеристик, или методом бегущих волн).
II этап. Рассмотрим задачу Коши (2.32)-(2.33). Положим в (2.34)
0:t
2.33
,0 ,u x g x h x x
,
t t t
u g x at h x at g x at a h x at a
ag x at ah x at
2.33
0
.
t
t
u a g x h x x
Таким образом, функции
g
и
h
удовлетворяют следующей системе:
,
,.
g x h x x
a g x a h x x x R
Проинтегрируем второе равенство
0
,
x
a g x h x d C
где
0 0 .C g a h a
Имеем:
0
,
11
,
x
g x h x x
g x h x d C
aa
откуда находим
g
и
:h
0
11
2,
x
g x x d C
aa
0
0
1 1 1
,
2 2 2
1 1 1
.
2 2 2
x
x
g x x d C
aa
h x x g x x d C
aa
(2.35)
Подставляя (2.35) в (2.34), будем иметь
0
0
1 1 1
,
2 2 2 2
1
22
x at
x at
C
u x t x at d x at
aa
C
d
aa
или окончательно
1
,.
22
x at
x at
x at x at
u x t d
a
(2.36)
Таким образом, нами доказано утверждение.
5А+Б5 (Теорема). Если функция
непрерывно дифференцируема, а
функция
дважды непрерывно дифференцируема, то задача Коши (2.32),
(2.33) поставлена корректно и формула (2.36) представляет решение этой
задачи.
